Математика с человеческим лицом
Кандидат педагогических наук Елена Глаголева

В научном мире Израиль Моисеевич Гельфанд известен прежде всего как учёный, оставивший значительный след почти во всех областях cовременной математики. «Гельфанд имеет способность понимать и говорить практически на всех математических языках — и это близко к тому, чтобы говорить на всех иностранных языках», — писал профессор А. Боровик [1].

Знают его также биологи (курьёзно — когда появились работы Гельфанда по биологии, некоторые специалисты интересовались, имеет ли этот биолог какое-либо отношение к знаменитому математику Гельфанду).

Но Гельфанд-педагог известен гораздо меньше. У него нет ни статей по педагогике, ни школьных учебников, он не разрабатывал программы. И тем не менее очень многие считают себя его учениками. Можно сказать, что учениками Гельфанда становились все, кому довелось с ним общаться, даже просто присутствуя при какой-то беседе. Один человек, попавший в «сферу влияния» Гельфанда, сказал: «Когда Гельфанд с тобой разговаривает, то чувствуешь, что в данный момент ты для него самый интересный и важный человек во всём мире». Теперь, вспоминая свои впечатления от общения Гельфанда с разными людьми, я поняла, что секрет его воздействия на людей можно выразить одним словом: неравнодушие.
Второго сентября 2013 года исполнилось сто лет со дня рождения Израиля Моисеевича Гельфанда — одного из крупнейших учёных ХХ века.

Что такое хороший учитель

Один из учеников-сотрудников Гельфанда, проработавший десяток лет в школе, как-то сказал: «Чтобы быть учителем, нужно: знать свой предмет, уметь учить (то есть владеть педагогической техникой) и любить детей». Израиль Моисеевич задумался на несколько секунд и сказал:



Эта триада — своеобразное педагогическое кредо Гельфанда.

«Любить свой предмет». Часто математика представляют этаким «сухарём», рассеянным, погружённым в какие-то непонятные отвлечённые рассуждения, в общем, не от мира сего. А математику считают формальной наукой, нужной разве лишь для того, чтобы вычислять проценты.

Ничего более далёкого от действительного Гельфанда нельзя придумать. Математики о нём говорили: «Гельфанд был в своём роде магом. Мир скучных цифр, формул, уравнений он каким-то таинственным образом превращал в поразительно красивый» [2] «Хотелось поучаствовать в маленьком чуде. Представьте, обсуждается сложнейший вопрос, не знаешь, как к нему подступиться. И вот на твоих глазах Гельфанд начинает «шаманить», чуть повернёт задачу то одной гранью, то другой. И всё в форме изящной игры, сдобренной шутками, анекдотами, афоризмами. Зал втягивался в игру, превращаясь в своего рода коллективный мозг. И в итоге удавалось продвинуться в решении задачи» [3].

Вот как Гельфанд решил задачу, которую мощнейший математический институт брался одолеть за полгода. Нужно было понять причину неравномерного обгорания сопла реактивного двигателя, из-за которого ракета заваливалась. Гельфанд нашёл изящную и простую модель явления: горящая свеча под восковым потоком выжигает в нём лунку. И решил задачу за один вечер.



Свою позицию Гельфанд подтверждал на деле. Так, когда ему предложили вести дополнительные занятия в двух математических классах московской Второй школы, он прежде всего поинтересовался, кто преподаёт в них литературу. Там работали Раскольников и Збарский, учителя замечательные, но разные по стилю преподавания, во многом даже антиподы. Израиль Моисеевич подолгу разговаривал с ними, участвовал в их горячих и частых спорах. Как-то он даже организовал эксперимент: при изучении одной из тем учителя поменялись классами, а потом все — и педагоги и ученики — обменивались впечатлениями, сравнивали, спорили.

А когда к нему привели маленькую девочку, которая решала трудные задачи по программе старших классов и тоненьким голосочком доказывала теоремы, и родители спросили, как развить её способности, Гельфанд сказал: «Отдайте её в балетную школу». У родителей хватило ума и чувства юмора последовать этому совету (правда, они предпочли фигурное катание). Девочка выросла и стала хорошим математиком.

Много лет спустя, обращаясь к ученикам Второй школы, Гельфанд сказал: «Я хочу отметить четыре важнейшие черты, общие для математики, музыки и других наук и искусств: первое — красота, второе — простота, третье — точность и четвёртое — безумные идеи».

«Любить учить». Как-то Гельфанд сказал, что математик — это не тот, кто может заниматься математикой, а тот, кто не может не заниматься ею. Можно сказать, что и учитель — это тот, кто не может не учить. В этом смысле сам Гельфанд — настоящий математик и настоящий учитель. Он был готов учить каждого, кто проявлял интерес к математике, от маленьких детей до своих титулованных коллег.



Этого же — умения и стремления учиться — Гельфанд требовал и от других. Он считал, что учитель, который перестал учиться, не настоящий учитель. Так, во Второй школе семинары по решению задач были для учеников необязательны. Но от учителей, которые с ними работали (и от меня тоже. — Е. Г.), Гельфанд требовал участия в семинарах, причём в качестве учеников, чтобы они не только присутствовали, но и решали те же задачи.

Разумеется, многим пришлось преодолеть свой комплекс: «Как это я буду решать задачи вместе с учениками? А вдруг они решат, а я нет?» Такой учитель порой начинает потихоньку использовать только задачи, которые сам наловчился решать. А при этом он перестаёт совершенствоваться сам и задерживает развитие учеников.

На самом же деле учитель, который на твоих глазах решает задачу, не бросает её, хотя она не выходит, добивается результата, — такой учитель не роняет свой авторитет в глазах учеников, а вызывает у них уважение.

«Любить тех, кого учишь». Как-то на замечание, что, мол, нужно давать в школе строгое изложение математики, Гельфанд парировал: «Кому нужно? Вам или ученикам?» Он, математик, ставил на первое место в обучении интересы ученика, а всё остальное — математическую строгость, требования чиновников от образования, удобство проверки (например, ЕГЭ) и прочее — считал, пользуясь удачным выражением одного из своих коллег, О. С. Ивашова-Мусатова, «обходимым и недостаточным».

Гельфанд не мог смотреть, как ребёнка губят неправильным обучением, и часто поминал рассказ Чехова о котёнке, которого насильно учили ловить мышей. Котёнок, став солидным котом, при виде мыши пугался и удирал. Таким, увы, нередко бывает и результат преподавания, которое сводится к разучиванию доказательств теорем и механической тренировке в математической технике. Подход Гельфанда совершенно иной: «Обучение должно доставлять удовольствие».

А как это сделать?

Однажды при мне Гельфанда спросили, как увлечь ребёнка математикой. Он сказал: «Надо давать хорошие задачи». Я со свойственным мне занудством тут же спросила: «А какие задачи хорошие?» Помедлив несколько секунд, Гельфанд ответил: «Хорошие задачи — это интересные и лёгкие».

Так и начинались занятия во Второй школе. Сам Гельфанд раз в неделю читал сразу двум классам лекции. Их содержание составляли интересные математические темы, например устройство четырёхмерного куба, «волшебная сберкасса» (фактически введение числа «е») и т.п. Посещение лекций в первом полугодии было необязательным. Правда, ходили почти все — да и как не пойдёшь, если преподаватель литературы (он же классный руководитель), сообщая о необязательности лекций, добавлял: «Конечно, вряд ли найдутся дураки, которые не пойдут слушать Гельфанда». А когда он читал лекцию, школьники видели перед собой человека, увлечённо занимающегося чем-то чрезвычайно важным и интересным. И срабатывал великий «принцип Тома Сойера» [4].

Параллельно с лекциями шли так называемые семинары, которые вели ученики и сотрудники Гельфанда. Эти занятия тоже были необычными: не было ни опроса, ни домашних заданий. Просто давалось много разных интересных задач, трудных и не очень, и каждый выбирал, какую хотел, оценки не ставили, и если кто-то задачу не решал, его не ругали.

Целью семинаров было показать ученикам, что можно заниматься математикой не для оценки и даже не для того, чтобы сдать экзамен в вуз, а просто для удовольствия. И конечно, именно им школьники уделяли больше всего внимания, даже вне уроков постоянно обсуждали между собой и с преподавателями задачи. Мало кто хотел просто узнать решение: это было бы нравственным крахом. Считалось неприличным не то, что ты не можешь осилить задачу, а то, что не хочешь решить её сам.

Постепенно школьники начинали понимать, что одна задача, которая сначала не получается, а потом наконец решается, ценнее и, главное, интереснее, чем десять «отщёлканных» стандартных примеров. И возникало ни с чем не сравнимое ощущение: когда наконец вдруг всё, «как коронка на зуб» (сравнение Маяковского), встаёт на своё место и оказывается ясным, простым и красивым. И эта радость преодоления действовала на детей гораздо сильнее всяких «кнутов и пряников», они видели (пока краешком глаза) красоту и простоту математики.

«Математик — это тот, кто понимает»

Но красота и простота — это ещё не всё. «Работая с ребятами во Второй школе, я лучше понял, что математика — это не спорт. Надо не просто уметь решать трудные задачи, а понимать математику», — писал Израиль Моисеевич.

Поэтому во втором полугодии, когда ученики были уже, что называется, «на крючке», наступал другой этап: чтобы слушать лекции, нужно написать заявление. Требование означало, что ученик уже сам решил заниматься всерьёз. В этом отношении Гельфанд был очень строг, не терпел никакой халтуры. Студентку-первокурсницу он ругал: «Ты не имеешь морального права заниматься спустя рукава, ты прошла по конкурсу, кто-то из-за тебя не смог учиться, ты занимаешь его место!»

Сейчас много говорят о правах детей. А я думаю, что не худо бы вспомнить и об их обязанностях. Например, обязательное среднее образование — оно для кого обязательное? Похоже, что только для государства и родителей, а «дитятко» с паспортом в кармане порой ведёт себя так, будто делает величайшее одолжение одним только своим присутствием в классе.

Теперь характер занятий изменился. Вместо отдельных интересных математических «эпизодов» и разнообразных задач на семинарах и на лекциях подробно разбиралась по существу одна тема: предел последовательности. И по ней нужно было сдавать зачёт.

Такое резкое ограничение содержания следовало из убеждения Гельфанда, что «лучше понять немногое, но до конца». «Если рассказать им слишком много трудного сразу, то с некоторого момента они садятся тебе на шею и перестают понимать простейшие вещи. А спрашивать с них нужно ещё меньше — но уж спрашивать дотошно, как следует».

Под «спрашивать дотошно» Гельфанд подразумевал, что от учеников требовался не простой пересказ того, что они услышали и запомнили, а что и как поняли. Ведь без понимания результат обучения математике сводится к запоминанию набора готовых формул и «заклинаний» (вроде «на нуль делить нельзя») и умению выполнять разные «манипуляции» (например, приводить подобные члены), а Гельфанд говорил: «Математик — это тот, кто понимает».

Но оказалось, что прежде, чем научиться понимать, надо научиться не понимать! Гельфанд демонстрировал это не только школьникам: тех, кто бывал на его семинарах (как математических, так и биологических), поражало виртуозное умение Гельфанда «не понимать», что ему объясняет докладчик. Постепенно и участники семинара, и сам докладчик осознавали, что они этого не понимают, и тут-то и начиналось настоящее прояснение вопроса.



Я не раз, слушая эти разговоры Израиля Моисеевича с учениками, вспоминала, как кто-то говорил, что-де пусть студенты ничего не понимают — потом привыкнут. По-моему, с этого и начинается превращение людей в винтики. Они «привыкают» принимать всякую информацию без рассуждений, не обдумывая, — то-то раздолье административно-командному стилю!

Изменились и семинары. Снова давались серии задач, но уже с одной целью: подвести учеников к определению понятия предела, то есть, не давая определения, объяснить, что такое предел. Это полностью шло вразрез с традиционным подходом. В математике считается естественным введение нового понятия начинать с его определения. Но подумайте: ведь сами-то математики не могли дать определения предела, если они ещё не поняли, что это такое! А детей заставляют. Нехорошо.

На лекциях о пределах долго не говорилось ни слова: Гельфанд ждал, когда ученики станут достаточно подготовлены семинарскими занятиями. Сам же он показывал, как устроена математика, что такое её точность, и учил их математическому языку. При этом считал, что знать всю систему математики школьного курса и требовать её соблюдения во всех деталях «на пятёрку с плюсом» нужно только в математических классах. В других случаях достаточно понимать, как строится такая система, и уметь её построить на конкретном примере. А так как он считал, что новое надо вводить на простом, уже знакомом материале, то в качестве примера выбрал число. «Число привычно для ученика, поэтому на числах проще понять устройство математической теории».

И первую лекцию во втором полугодии Гельфанд начал с вопроса: «Что такое число?» И продолжал: «Разные люди ответили бы на этот вопрос вроде бы по-разному. Русский сказал бы: один, два, три… и написал 1, 2, 3… Француз — эн, де, труа… и написал бы то же самое. А японец сказал бы: ити, ни, сан… и нарисовал три сложные картинки. Но что такое число, все они понимали бы одинаково: попросту говоря число — это что-то такое, что можно складывать и умножать, соблюдая некоторые правила».

А дальше последнюю фразу он переводил на математический язык: вместо «Числа можно складывать» говорил: «Любым двум числам ставится в соответствие одно определённое число», а на доске появлялось: а + b → c и т.д. Записывались «правила» — известные всем свойства сложения и умножения. Далее, как положено, давались определения нуля и единицы: а + 0 = а и а × 1 = а. Потом появилась первая задача: «Доказать, что ноль только один», то есть доказать, что если есть другое число 0′, обладающее определяющим свойством нуля (то есть а + 0′ = а), то 0′ = 0. Эту задачу решали на лекции, а следующую — «Доказать, что а × 0 = 0» — предлагалось решить дома, но не «к следующему уроку», как в школе, а когда кто сумеет. А когда были введены отрицательные числа, Гельфанд дал своим девятиклассникам домашнее задание: «Написать учебник алгебры для 6-го класса» (то есть дать все необходимые определения, используемые в курсе математики для него, и полностью доказать все формулы, давая ссылки на каждый шаг), а после введения дробных чисел — учебник для 7-го.

Казалось бы, зачем девятиклассникам рассказывать об этих давно знакомых им вещах? Да именно для того, чтобы на уже хорошо известном им примере показать принцип аксиоматического построения математики и дать им на собственном опыте почувствовать, как после введения аксиом все остальные свойства и правила определяются однозначно.

Но чтобы дать определение предела, требовалось ещё овладеть специальным языком. И вот однажды он пришёл на лекцию и сказал как будто ни с того ни с сего: «Ученики должны показывать свои тетради учителям». А потом спросил: «Что означает эта фраза? Ничего не означает...» И привёл несколько примеров. Она может означать, что «каждый ученик должен показывать каждую тетрадь каждому учителю». А может означать: «у каждого ученика есть такая тетрадь, которую он должен показывать любому учителю» или «для каждого ученика есть учитель, которому он должен показывать любую тетрадь» и так далее. После того как ученики усвоили разницу между этими утверждениями, Гельфанд вводил кванторы и их обозначение: («любой») и («существует»), то есть заменял «разговорные» слова точными символами и уточнял с их помощью формулировки определения нуля и единицы:.

А ученикам давал задание составить дома все возможные варианты фразы «ученики должны показывать тетради учителям» с использованием кванторов и разъяснить смысл каждого из полученных утверждений.

В итоге, после того как было дано представление о пределе и усвоен необходимый язык, ученики сами могли точно сформулировать определение предела. И Гельфанд торжественно провозгласил, что они перешли на другой уровень и теперь с ними можно разговаривать о математике на другом языке.

«Безумные идеи»

Не могу ничего сказать относительно «безумных идей» в математике, но в педагогике идея Заочной математической школы (ВЗМШ) — его главного детища и своеобразного памятника ему — выглядела вполне безумной. Подумайте только: любой школьник «от Москвы до самых до окраин» получает возможность стать учеником Гельфанда, и не только его!

В работе этой школы наиболее полно проявилась «педагогическая идеология» Гельфанда. Ведь преподавание во Второй школе — это, при всей его значимости, всего лишь отдельный эпизод, причём в исключительных условиях математического класса столичной школы, а ВЗМШ — нечто совсем другое. И дело не только в масштабах (хотя в школе занятия охватили всего около полусотни ребят, а уже первый приём в заочную школу составил 1442 человека). Гораздо более существенно, что во Второй школе Гельфанд имел дело с уже некоторым образом отобранными учениками (хотя бы уже тем, что они обучались в столичной спецшколе).

А в заочной школе могла учиться не только какая-то особо одарённая молодёжь — будущее и гордость отечественной науки, а обычные дети из любых уголков страны, вплоть до «буранных полустанков». Но Гельфанду как раз был нужен именно такой «контингент», ведь он всегда подчёркивал: «Я не спортивный тренер, а физкультурный врач. Не “леплю” чемпионов олимпиад, этаких “решателей задач”».



А ведь в ВЗМШ кроме тысяч школьников учились также и школьные учителя: сразу после создания школы в ней появились так называемые коллективные ученики, то есть кружки, с которыми педагоги работали по пособиям заочной школы и под её руководством. И это очень важно: школьник окончит школу и уйдёт, а учитель-то останется и будет использовать всё, что получил от заочной школы, в работе с другими учениками.

Конечно, Гельфанд не мог сам лично учить каждого ученика заочной школы, но содержание обучения в ней определялось пособиями, специально написанными для неё. А первые пособия Гельфанд написал сам в соавторстве со своими учениками-сотрудниками. В книжке «Метод координат» ему удалось провести учеников от простейшего материала «Координаты на прямой» до геометрии четырёхмерного пространства. И он радовался как ребёнок, когда мы показали ему первую тетрадь с выполненным заданием, где была нарисована развёртка четырёхмерного куба: «Подумать только: девочка, живущая в какой-то Косой горе, смогла решить такую замечательную задачу!»

Но содержание — это ещё полдела: важно не только (а может быть, и не столько) чему учить, сколько как учить. С одной стороны, заочное обучение имеет то преимущество, что оно индивидуальное и легче обеспечивает дифференцированный подход. С другой стороны, чем заменить, хотя бы отчасти, живое общение ученика и учителя? Ведь именно в таком общении Гельфанд и учил своих учеников самому главному — пониманию.

В заочной школе ухитрились в какой-то мере осуществить такой же подход к обучению. Как на своих лекциях Гельфанд никогда не отвечал ученику прямо на его вопрос, а заставлял думать и самому дойти до ответа, так и в заочной школе проверяющему запрещалось исправлять ошибку в работе ученика. Он должен был лишь отметить её и дать такое указание, чтобы ученик, во-первых, понял свою ошибку, а во-вторых, сумел бы сам её исправить, до конца решить задачу, и ещё раз прислать уже исправленное решение. Иногда требовалось два-три цикла, чтобы ученик получил «зачёт» по теме (кое-кто таким же образом добивался повышения оценки).

Как правило, в конце проверяющий писал ученику короткую неформальную рецензию — по сути, личное письмо с общими советами. Во многих случаях возникала переписка — личное общение ученика с учителем выходило за рамки заданий. Таким образом, за почти пятьдесят лет работы заочной школы [5] выработалась своеобразная методика «проверки» работ школьников (слово «проверка» взято в кавычки, потому что в ВЗМШ она на самом деле превратилась в продолжение обучения).

О заочной школе можно было бы писать очень много, но мне кажется, что она заслуживает отдельного разговора.

***

Я думаю, что если бы Израиль Моисеевич прочёл эту статью, он бы удивился: «Ты считаешь, что я, читая лекции школьникам, какие-то там принципы реализовывал? Ничего подобного, моя цель была важнее: детей получше научить».



Можно сказать, что математика Гельфанда-педагога — это математика с человеческим лицом.

Комментарии к статье

1. «An Equation for Success», «The New York Times», 2003, 5 окт.

2. Медведев Ю. Цит. по: «Моцарт от математики» // «Российская научная газета», 2003, 3 сент., № 33 (36).

3. Вершик А., там же.

4. Имеется в виду эпизод, когда Том, крася забор, притворился, что ему очень нравится это занятие, и в результате «разбогател», продавая его другим мальчишкам.

5. К сожалению, заочная школа не дожила до своего юбилея: в апреле этого (2013-го - Сайт В.К.) года РАО её закрыла, вероятно, за ненадобностью (или не доходностью?).

Наука и жизнь

---

На развитие сайта
​